オペレータ

ある状態の光を、偏光板に入れると、出てきた時には、別の状態になっている。 このように、種々の状態を、別の状態に変換する機能を示すものとして、 オペレータという概念が用いられる。 $x$ 偏光板を例にしてみよう。 状態 $\left\vert x\right\rangle$ の光を $x$ 偏光板に入れると、状態 $\left\vert x\right\rangle$ のまま出てくる。 また、 $\left\vert 45^\circ\right\rangle$ を入れると、確率振幅 $1/\sqrt2$ で、 やはり $x$ 偏光の状態、つまり $(1/\sqrt2)\left\vert x\right\rangle$ の状態で 出てくる。 これらを、次のように表現する。

$$(x偏光板)\left\vert x\right\rangle =\left\vert x\right\rang... ...5^\circ\right\rangle =\frac1{\sqrt2}\left\vert x\right\rangle$$

ケットベクトル $\left\vert x\right\rangle$ と $\left\vert 45^\circ\right\rangle$ の前に書かれた、 ``$(x偏光板)$'' が、$x$ 偏光板の行う変換を表す オペレータ(operator)である。

感の良い読者の中には、``$(x偏光板)$'' は、ベクトル空間における、 行列(matrix)のようであると思う人も、いるかもしれない。 事実、そのとおりで、オペレータは行列と完全に対応する。 行列の場合は、$n$ 行 $n$ 列に対し、$n^2$ 個の要素が 与えられていて、具体的な変換の仕方が人目でわかる。 しかし、オペレータの場合は、ただ、``$(x偏光板)$'' と書かれていて、 任意の状態を、どのように変換するのか、はっきりしないように見える。

実は、オペレータに対しても、基底状態を変換した状態が、各基底状態をとる 確率振幅を知っていれば、任意の状態の変換の仕方を、具体的に 計算することができる。 つまり、ある基底状態 $\left\vert j\right\rangle$ を、オペレータ $\widehat{A}$ で 変換してできた状態 $\widehat{A}\left\vert j\right\rangle$ に対し、次式に示す基底状態 $\left\vert j\right\rangle$ をとる確率振幅を、知っていれば、 $\widehat{A}\left\vert\psi\right\rangle$ を、いつでも計算できる (オペレータを、ただ $A$ と書くと、 ケットベクトルの $A$ 倍と、勘違いされるので、誤解されやすい時は、 前にも述べたように、``$\widehat{\}$'' 記号を付ける)。

$$\left\langle j\right\vert\widehat{A}\left\vert k\right\rangle \qquad\left(\mbox{$j$,$k$はすべての基底状態}\right)$$ (2.13)

図2.8で、ある状態 $\left\vert\psi\right\rangle$ が、 オペレータ $\widehat{A}$ の作用を受け、状態を変換された後に $\left\vert\chi\right\rangle$ をとる確率は、$\widehat{A}$ の前後に、分波器合成器の ペアを入れても、変わらない。 (b) の図を見てみると、入力から出力へ行くのに、四つの通路、 $x\rightarrow A\rightarrow x$、 $y\rightarrow A \rightarrow x$、 $x\rightarrow A\rightarrow y$、 $y\rightarrow A \rightarrow y$ のあることがわかる。 それぞれの通路が一本のみ開いているときの確率振幅は、例えば、 $y\rightarrow A \rightarrow x$ の場合、次式のように、 $\left\vert\psi\right\rangle$ の成分と $\left\vert\chi\right\rangle$ の成分、および、$\widehat{A}$ の成分がわかっていれば、計算できる。

$$\left\langle\left.\chi\right\vert x\right\rangle \left\lang... ...\right\rangle \left\langle\left.y\right\vert\psi\right\rangle$$

さて、入力から出力へ行くのに、四つの通路があり、かつ、どの通路も 開いているときの確率振幅は、干渉実験などからもわかるように、各通路の 確率振幅を、重ね合わせの原理により合成することで、計算できる。 したがって、 $\left\vert j\right\rangle$、 $\left\vert k\right\rangle$ を基底状態とすると、次式が 成立する。

$$\left\langle\chi\right\vert\widehat{A}\left\vert\psi\right\... ...t\rangle \left\langle\left.k\right\vert\psi\right\rangle %e13$$ (2.14)

この式は、左辺の $\left\langle\chi\right\vert$ と $\widehat{A}$ の間、および $\widehat{A}$ と $\left\vert\psi\right\rangle$ の間に、式 2.8の 分解再合成の式を挿入すれば、簡単に得られることに注意してほしい。

図: オペレータの成分展開 $\left\langle\chi\right\vert\widehat{A}\left\vert\psi\right\rangle =\left\lang... ...at{A}\left\vert y\right\rangle \left\langle\left.y\right\vert\phi\right\rangle$

上式は、 $\left\langle\chi\right\vert$ が、どんな状態でも成立することから、両辺より、 $\left\langle\chi\right\vert$ を落とすことができる。

$$\widehat{A}\left\vert\psi\right\rangle =\sum_{j,k}\left\ver... ...\rangle \left\langle\left.k\right\vert\psi\right\rangle %e14$$ (2.15)

この式は、$\widehat{A}$ を $\left\vert\psi\right\rangle$ に作用させてできた状態 $\widehat{A}\left\vert\psi\right\rangle$ の、具体的な形を示している。

問題2..11 $x$ 偏光板の行う作用を表すオペレータを、$\widehat{x}$ と略記するとして、 $\left\langle x\right\vert\widehat{x}\left\vert x\right\rangle$、 $\left\langle x\right\vert\widehat{x}\left\vert y\right\rangle$、 $\left\langle y\right\vert\widehat{x}\left\vert x\right\rangle$、 $\left\langle y\right\vert\widehat{x}\left\vert y\right\rangle$ を求めよ。

ヒント $\left\vert x\right\rangle$ を $x$ 偏光板に入れるとそのまま抜け、 $\left\vert y\right\rangle$ を入れると、完全に遮断される。

答え それぞれ、1、0、0、0。

問題2..12 $\widehat{x}\left\vert\theta\right\rangle$ は、どんな状態になるか。

答え $\quad\left\vert x\right\rangle \left\langle\left.x\right\vert\theta\right\rangle$、つまり $\left\vert x\right\rangle$ を $\left\langle\left.x\right\vert\theta\right\rangle$ の確率振幅でとる状態。

式2.14で、 $\left\langle\chi\right\vert$ として、基底状態の 一つ、 $\left\langle m\right\vert$ を考えると、 $\left\langle\left.m\right\vert j\right\rangle$ は、$m=j$ のときだけ、1 となるから、次のようになる。

$$\left\langle m\right\vert\widehat{A}\left\vert\psi\right\ra... ...ht\rangle \left\langle\left.k\right\vert\psi\right\rangle %e15$$ (2.16)

この式の $m$ を再び $j$ に書き直したものと、$A$ を行列、 $\mbox{\boldmath${\psi}$}$ をベクトルとしたときの、 $A\mbox{\boldmath${\psi}$}$ の成分を与える 次式を比較してみると、完全に対応している。

$$(A\mbox{\boldmath${\psi}$})_j=\sum_k A_{jk}\psi_k$$

ここでも $\widehat{A}$ が、ベクトル空間の変換行列によく 対応することがわかるであろう。 この意味で、 $\left\langle j\right\vert\widehat{A}\left\vert k\right\rangle$ を、オペレータの $jk$ 成分と 呼ぶ。

行列の積(product of matrix)に対応し、オペレータの積(product of operator)の概念がある。 図2.9 に示すように、与えられた状態を、 まず $\widehat{B}$ で変換し、さらに、$\widehat{A}$ で変換したものが、 オペレータの積の概念、 $\widehat{A}\widehat{B}$ である。

図 2.9: 装置を二台通すとオペレータは積になる

問題2..13 オペレータ $\widehat{B}$ と $\widehat{A}$ の、積の成分 $\left\langle j\right\vert\widehat{A} \widehat{B}\left\vert k\right\rangle$ を、$\widehat{B}$の成分、$\widehat{A}$ の成分を用いて、 書き表せ。

ヒント 図2.9で、入力を $\left\vert k\right\rangle$ としたとき、 出力が $\left\langle j\right\vert$ となる確率振幅を考え、さらに、$A$ と $B$ の 間に、分波器合成器の組を入れてみよ。

答え

$$\qquad\left\langle j\right\vert\widehat{A}\widehat{B}\left\... ...\left\langle m\right\vert\widehat{B}\left\vert j\right\rangle$$

問2.13の結果よりわかるように、オペレータ $\widehat{A}$、$\widehat{B}$ の積は、二つの行列の積と、完全に対応する。 行列の、積の順序を入れ換えると、一般には、もとの積と異なる。 同様に、オペレータの積も、交換すると、一般には異なる変換となる。 従って、オペレータ $\widehat{A}\widehat{B}$ と、オペレータ $\widehat{B}\widehat{A}$ の差は、0 とならない。 この差を、交換子(commutor)と呼び、次のように表す。

$$[\widehat{A}\ \widehat{B}]=\widehat{A}\widehat{B}-\widehat{B}\widehat{A} %e16$$ (2.17)

オペレータ $\widehat{A}$、$\widehat{B}$ の組合せによっては、たまたま、 $[\widehat{A}\ \widehat{B}]=0$ になることがあるが (右辺は、厳密に言うと、 全成分が 0 となるオペレータ)、このとき、$\widehat{A}$ と $\widehat{B}$ は、 交換可能(commutable)と呼ばれる。

問題2..14 $45^\circ$ 偏光板の行う変換、を表すオペレータ $\widehat{45^\circ}$ の、成分を求めよ。

ヒント $\widehat{45^\circ}\left\vert 45^\circ\right\rangle =\left\vert 45^\circ\right\rangle$、 $\widehat{45^\circ}\left\vert 135^\circ\right\rangle =0$ の二式に、 問2.5の結果を用い、さらに、左から $\left\langle x\right\vert$、 $\left\langle y\right\vert$ をほどこす。

答え $\qquad \left(\matrix{1/2 & 1/2 \cr 1/2 & 1/2 \cr}\right)$

問題2..15 光を $45^\circ$ 偏光板に通し、その結果を、さらに、$x$ 偏光板に 通すという、 二枚の偏光板の組の働きは、 $\widehat{x}\widehat{45^\circ}$ と 表される。 $\widehat{x}\widehat{45^\circ}$ と、 $\widehat{45^\circ}\widehat{x}$ の、二つの オペレータの、積のオペレータ成分を求めよ。また、$\widehat{x}$ と $\widehat{45^\circ}$ の、交換子のオペレータ成分を求めよ。

答え $\qquad \left(\matrix{1/2&1/2\cr0&0\cr}\right)_,\quad \left(\matrix{1/2&0\cr1/2&0}\right)_, \quad \left(\matrix{0&1/2\cr-1/2&0\cr}\right)$

問題2..16 $\widehat{x}\widehat{45^\circ}\left\vert\psi\right\rangle$ は、 $\left\vert\psi\right\rangle$ によらず、 常に $x$ 偏光していることを示せ。同様に、 $\widehat{45^\circ}\widehat{x} \left\vert\psi\right\rangle$ は、常に、$45^\circ$ 偏光していることを示せ。 このように、積の順を入れ換えると、異なる出力が得られる。

問題2..17 何もしないオペレータ $\widehat{I}$ の、各成分を求めよ。

答え $\qquad \left(\matrix{1 & 0 \cr 0 & 1 \cr}\right)$

問題2..18 何もしないオペレータ $\widehat{I}$ は、どんなオペレータ $\widehat{A}$ とも、 交換可能であることを示せ。

答え $\qquad \widehat{A}\widehat{I}=\widehat{I}\widehat{A}=\widehat{A}$