共役オペレータ

オペレータ $\widehat{A}$ が、状態 $\left\vert\psi\right\rangle$ を変換して、状態 $\left\vert\phi\right\rangle$ にしたとする。この $\left\vert\phi\right\rangle$ が、さらに、 別の状態 $\left\vert\chi\right\rangle$ をとる確率振幅は、次式で与えられる。

$$\left\langle\left.\chi\right\vert\phi\right\rangle =\left\l... ...e\chi\right\vert\widehat{A}\left\vert\psi\right\rangle %e17$$ (2.18)

この右辺は、オペレータを、二つの状態で、はさむ形になっている。 では逆に、 $\left\vert\chi\right\rangle$ が $\left\vert\phi\right\rangle$ をとる確率振幅を、 同じような形で表せないか、と考えてみる。 今度は、 $\left\vert\chi\right\rangle$ が右になるので、その形は、別のオペレータ $\widehat{A}^\dagger$ を用いて、次のようになることが、予想される。

$$\left\langle\left.\phi\right\vert\chi\right\rangle =\left\l... ...ght\vert\widehat{A}^\dagger\left\vert\chi\right\rangle %e18$$ (2.19)

つまり、 $\left\vert\chi\right\rangle$ の方を変換して、 $\widehat{A}^\dagger\left\vert\chi\right\rangle$ とし、この状態が、 $\left\vert\psi\right\rangle$ をとる確率振幅、という形で、 表現するわけである。 このような表現は、 $\widehat{A}^\dagger$ を適切に選びさえすれば、 $\left\vert\psi\right\rangle$、 $\left\vert\chi\right\rangle$ の状態によらず、常に可能となる。 $\widehat{A}^\dagger$ を、どのように選ぶべきかを、考えてみよう。まず、 $\left\langle\left.\chi\right\vert\phi\right\rangle =\left\langle\left.\phi\right\vert\chi\right\rangle ^*$ であるから、 次のように書けるはずである。

$$\left\langle\chi\right\vert\widehat{A}\left\vert\psi\right\... ...\vert\widehat{A}^\dagger \left\vert\chi\right\rangle ^* %e19$$ (2.20)

オペレータの両側に、完備性の条件式 式2.8を入れ (分波器合成器の組を入れるのと等価)、上式を、基底状態で展開すると、まず、 右辺は、次のようになる。

$$\left\langle\psi\right\vert\widehat{A}^\dagger\left\vert\ch... ...ht\rangle ^* \left\langle\left.j\right\vert\psi\right\rangle$$

これと、左辺を展開したものと比較すると (比較しやすいように、左辺は、 $k$、$j$ で展開する)、次の関係が、すべての $j$、$k$ に対し 成立すれば、式2.20の満たされることが、わかる (逆の 証明は、式2.20の、 $\left\langle\chi\right\vert$、 $\left\vert\psi\right\rangle$ を、 $\left\langle j\right\vert$、 $\left\vert k\right\rangle$ とすることから得られる)。

$$\left\langle j\right\vert\widehat{A}^\dagger\left\vert k\ri... ...angle k\right\vert\widehat{A}\left\vert j\right\rangle ^* %e20$$ (2.21)

つまり、行列で言うと、 $\widehat{A}^\dagger$ の成分が、$\widehat{A}$ の転置共役であれば、あらゆる $\left\langle\chi\right\vert$、 $\left\vert\psi\right\rangle$ に対し、式2.20が成立する。 このようにして選ばれた、 $\widehat{A}^\dagger$ のことを、$\widehat{A}$ の共役オペレータ(adjoint operator)と呼ぶ。 今後、単に $\widehat{A}^\dagger$ と書くときは、暗黙に、$\widehat{A}$ の共役オペレータであると約束する。

式2.18と式2.19 で、 $\left\vert\chi\right\rangle$ が、任意の状態でよいことを考えると、 $\widehat{A}^\dagger$ を $\widehat{A}$ の共役オペレータとして、形式的に次の関係が 得られる。

$$\left\vert\phi\right\rangle =\widehat{A}\left\vert\psi\righ... ...right\vert=\left\langle\psi\right\vert\widehat{A}^\dagger %e21$$ (2.22)

この関係は、オペレータを含む、いくつかの演算に極めて有効である。 例えば、粒子にある操作を施す (あるいは粒子をある装置に通す) ことに 対応するオペレータを、$\widehat{U}$ と表そう。 この操作が、粒子を消滅させることのないような、無損失(non-dissipative) のものだとすると、任意の $\left\langle\left.\psi\right\vert\psi\right\rangle =1$ なる状態 $\left\vert\psi\right\rangle$ に対し、操作後の状態 $\left\vert\phi\right\rangle =\widehat{U} \left\vert\psi\right\rangle$ は、やはり、 $\left\langle\left.\phi\right\vert\phi\right\rangle =1$ の条件を 満たす。 式2.20 の関係を用いると、 $\left\langle\psi\right\vert\widehat{U}^ \dagger\widehat{U}\left\vert\psi\right\rangle =1$ が得られる。 任意の $\left\vert\psi\right\rangle$ に対し、この関係が成立するためには、 $\widehat{U}^ \dagger \widehat{U}$ が、何もしないオペレータ $\widehat{I}$ でなければ、 ならない (厳密な証明は、ラグランジェの未定係数法を使って可能であるが、 ここでは略す)。

$$\widehat{U}^\dagger\widehat{U}=\widehat{I} %e22$$ (2.23)

この式を満たすオペレータは、ユニタリーオペレータ(unitary operator)と呼ばれる。

問題2..19 $\widehat{x}$、 $\widehat{45^\circ}$、$\widehat{I}$ は、それぞれ無損失 オペレータかどうか。

答え それぞれ損失、損失、無損失。