基底状態の組の作り方

偏光状態を記述するにはいつも、二つの状態の組、つまり、基底状態を 必要とし、どんな状態も、この二つの状態をとる確率振幅をもって 表現することができる。 しかし、この基底状態の選び方には、かなりの任意性があり、例えば $\{\left\vert x\right\rangle ,\left\vert y\right\rangle \}$、 $\{\left\vert\theta\right\rangle ,\left\vert\theta+90^ \circ\right\rangle \}$、 $\{\left\vert R\right\rangle ,\left\vert L\right\rangle \}$ と、幾通りも選ぶことができた。 一般に $n$ 状態系でも、事情は同じであり、直交性と完備性を 満たしさえすれば、基底状態の組の選択の仕方には、かなりの自由度がある。

実は、まったく自由に、基底状態の組を構成することができるのである。 その方法を、以下で示してみよう。 まず、勝手な状態 $\left\vert\psi_1\right\rangle$ を考える。 といっても、何も基盤がないのは考えづらいので、 $\{\left\vert x_i\right\rangle \}$ を基底として考え、 $\{\left\langle\left.x_i\right\vert\psi_1\right\rangle \}$ が勝手に 与えられたと考える。 $\left\vert\psi_1\right\rangle$ が正規化されていれば、これを、これから作り出す 基底状態の第一の状態 $\left\vert 1\right\rangle$ とする。 正規化されていなければ、正規化を行う。

$$\left\vert 1\right\rangle =\frac{\left\vert\psi_1\right\ran... ...left\langle\left.\psi_1\right\vert\psi_1\right\rangle }} %e31$$ (2.24)

さて次に、また別の勝手な状態 $\left\vert\psi_2\right\rangle$ を考える。 $\left\vert\psi_2\right\rangle$ のうちで $\left\vert 1\right\rangle$ の成分を持つ要素があれば、 それを取り去り $\left\vert\psi_2'\right\rangle$ とする。

$$\left\vert\psi_2'\right\rangle =\left\vert\psi_2\right\rang... ...\rangle \left\langle\left.1\right\vert\psi_2\right\rangle %e32$$ (2.25)

これを次のように正規化する。

$$\left\vert 2\right\rangle =\frac{\left\vert\psi_2'\right\ra... ...eft\langle\left.\psi_2'\right\vert\psi_2'\right\rangle }} %e33$$ (2.26)

容易にわかるように、 $\left\langle\left.1\right\vert 2\right\rangle =0$ となるから、 $\left\vert 2\right\rangle$ は 第二の基底状態とすることができる。 $\left\vert\psi_2'\right\rangle$ がたまたま 0 となってしまうときは、もう一度、別の勝手な状態を $\left\vert\psi_2\right\rangle$ として、 $\left\vert 2\right\rangle$ を定める。

第三の基底状態は、同様にして、さらに別の勝手な状態 $\left\vert\psi_3\right\rangle$ から作り出すことができる。

$$\left\vert\psi_3'\right\rangle =\left\vert\psi_3\right\rang... ...\rangle \left\langle\left.2\right\vert\psi_3\right\rangle %e34$$ (2.27)

$$\left\vert 3\right\rangle =\frac{\left\vert\psi_3'\right\ra... ...eft\langle\left.\psi_3'\right\vert\psi_3'\right\rangle }} %e35$$ (2.28)

この $\left\vert 3\right\rangle$ も、 $\left\vert 1\right\rangle$ と $\left\vert 2\right\rangle$ の双方に直交し、かつ 正規化されているので、第三の基底状態としての資格を有している。 このようにして次々と、$n$ 個の基底状態を作り出すことができる。

ここに述べた基底状態の作り方は、シュミットの直交化法(Schmidt orthogonization method)と呼ばれ、 実は、$n$ 次元ベクトル空間で正規直交する $n$ 個の単位ベクトルを 生成する方法と、まったく同じである。 例えば $\left\vert 1\right\rangle$ と $\left\vert 2\right\rangle$ の基底状態ができているとき、 $\left\vert\psi_3\right\rangle$ から $\left\vert 3\right\rangle$ を作り出す過程は、 図2.10に示すようになっている。 ただ、これは、あくまでも模式図であり、本当は、$n$ 次元複素数空間での 作業となり、図示は困難となる。

図: 新しい基底状態の作り方(シュミットの直交化法)。 $\left\vert\psi_3\right\rangle$ から $\left\vert 3\right\rangle$ を作る

問題2..20 $n=3$ とし、 $\left\langle\left.x_i\right\vert\psi_I\right\rangle$ が次のように 与えられているとき、これを利用して、基底状態の組を作り出せ。 複素共役を、忘れないよう注意せよ。

(a)	$\left\vert\psi_1\right\rangle =\left(\matrix{1\cr0\cr0\cr}\right)$	$\left\vert\psi_2\right\rangle =\left(\matrix{1/\sqrt2\cr1/\sqrt2\cr0\cr}\right)$	$\left\vert\psi_3\right\rangle =\left(\matrix{1/\sqrt3\cr1/\sqrt3\cr1/\sqrt3\cr}\right)$
(b)	$\left\vert\psi_1\right\rangle =\left(\matrix{1/\sqrt3\cr1/\sqrt3\cr1/\sqrt3\cr}\right)$	$\left\vert\psi_2\right\rangle =\left(\matrix{1/\sqrt2\cr1/\sqrt2\cr0\cr}\right)$	$\left\vert\psi_3\right\rangle =\left(\matrix{1\cr0\cr0\cr}\right)$
(c)	$\left\vert\psi_1\right\rangle =\left(\matrix{1\cr i\cr1\cr}\right)$	$\left\vert\psi_2\right\rangle =\left(\matrix{1\cr i\cr2\cr}\right)$	$\left\vert\psi_3\right\rangle =\left(\matrix{2\cr2i\cr-1\cr}\right)$

答え

(a)	$\left(\matrix{1\cr0\cr0\cr}\right)$	$\left(\matrix{0\cr1\cr0\cr}\right)$	$\left(\matrix{0\cr0\cr1\cr}\right)$
(b)	$\left(\matrix{1/\sqrt3\cr1/\sqrt3\cr1/\sqrt3\cr}\right)$	$\left(\matrix{1/\sqrt6\cr1/\sqrt6\cr-2/\sqrt6\cr}\right)$	$\left(\matrix{1/\sqrt2\cr-1/\sqrt2\cr0\cr}\right)$
(c)	$\left(\matrix{1/\sqrt3\cr i/\sqrt3\cr1/\sqrt3\cr}\right)$	$\left(\matrix{1/\sqrt6\cr i/\sqrt6\cr-2/\sqrt6\cr}\right)$	$\left(\matrix{1/\sqrt2\cr-i/\sqrt2\cr0\cr}\right)$