時間経過オペレータ

ある時刻、$t=t_0$ のときの系の状態を、 $\left\vert\psi(t_0)\right\rangle$ と表そう。 それから時間が経過して、$t=t_1$ になったときの状態、 $\left\vert\psi(t_1)\right\rangle$ を、 $\left\vert\psi(t_0)\right\rangle$ から、予測することを 考えよう。 $t_0$ から $t_1$ まで待つと、通常は、状態は変化していく。 つまり、待つということ自体、状態を、別の状態へ変換させる機能を持つ。 そこで、一種の装置を通すのと同じように、これをオペレータとして 考えることができる。

$$\left\vert\psi(t_1)\right\rangle =\widehat{U}\left\vert\psi(t_0)\right\rangle %e1$$ (3.1)

オペレータならば、それぞれの基底状態が、時間経過後に、どのような状態に 変換されるかを、すべての基底状態に対し調べておけば、一般の状態が、どんな 状態に変換されるかを、求めることが出来る。 ある基底状態 $\left\vert k\right\rangle$ が、$t_0$ から $t_1$ までの時間経過後、 変換され、基底状態 $\left\vert j\right\rangle$ をとる確率振幅を $\left\langle j\right\vert\widehat{U} \left\vert k\right\rangle$ と表そう。 むろん、 $\left\vert j\right\rangle$ も $\left\vert k\right\rangle$ も、同じ基底状態の組に属するものとする。 上に述べたことは、式で、次のように表現することができる。

$$\left\langle\left.j\right\vert\psi(t_1)\right\rangle =\sum\... ...angle \left\langle\left.k\right\vert\psi(t_0)\right\rangle %e2$$ (3.2)

このオペレータ $U$ (の各成分) は、$t_0$、$t_1$ を決めれば、 一義的に決定されるので、 $\widehat{U}(t_1、t_0)$ とも表現され、 時間経過オペレータ(time progress operator)と呼ばれる。

時間が経過しても、状態の正規性は保たれるので、次式が成立する。

$$\left\langle\left.\psi(t_1)\right\vert\psi(t_1)\right\rangle =1 %e3$$ (3.3)

これより、$\widehat{U}$ に条件が課せられる。

$$\widehat{U}^\dagger\widehat{U}=\widehat{I} %e4$$ (3.4)

$\widehat{U}$ は、ユニタリーオペレータ(unitary operator)、つまり無損失な 変換であることがわかる。

問題3..1 式3.3から、$\widehat{U}$ がユニタリーオペレータとな ることを示せ。

ヒント 第2章の共役オペレータの節を参照

時間と共に変化するような、外的駆動力などがない物理系、つまり、 物理的環境が、時間的に変化しない時不変(time independent)な系を、考えよう。 こうした時不変な系では、$t_0$ から $\Delta t$ 待って、 $t_1\ (=t_0+\Delta t)$ になるまでの変換も、また、$t_0'$ から 同じ $\Delta t$ 待って、 $t_1'\ (=t_0'+\Delta t)$ になるまでの 変換も、等しくなり、ともに、$\Delta t$ だけに依存するはずである。 したがって、これを、簡単に、 $\widehat{U}(\Delta t)$ と表すと、次の条件が 成立する。

$$\left\vert\psi(t+\Delta t)\right\rangle =\widehat{U}(\Delta t)\left\vert\psi(t)\right\rangle %e5$$ (3.5)

$\widehat{U}(t_1,t_0)$ の具体的な形は、次節に述べる運動方程式と深い 関係がある。 古典力学においては、例えば、重力中の物体の一次元運動は、次の式で 与えられる。

$$x=\frac12g(t-t_0)^2+v_0(t-t_0)+x_0,\qquad v=g(t-t_0)+v_0$$

これから、次のような運動方程式が推定された。

$$\frac{dx}{dt}=v,\qquad \frac{dv}{dt}=g$$

また、逆に、運動方程式を解くと、質点の運動が計算できる。 $\widehat{U}(t_1,t_0)$ は、いわば、$t_0$ における $x_0$、$v_0$ から、$t$ における $x$、$v$ を与える、質点の運動を表す式に 対応する。 この $\widehat{U}$ から、状態の変化を決める、微分方程式を 求めることができれば、それが、量子力学における、 運動方程式になるわけである。