運動方程式

古典力学におけるニュートンの運動方程式を、次のように変形してみよう。

$$dx=vdt,\qquad dv=gdt %e6$$ (3.6)

このように、運動方程式とは、$t$ における $x$、$v$ の値が、それから 僅かな時間、$dt$ 後に、どれだけ変化するかを示したものである。 同じように、 $\left\vert\psi(t)\right\rangle$ が、$\Delta t$ 後にどれだけ 変化するかを考えよう。 $\left\vert\psi(t+\Delta t)\right\rangle$ と $\left\vert\psi(t)\right\rangle$ の差は、 次のようになる。

$$\left\vert\psi(t+\Delta t)\right\rangle -\left\vert\psi(t)\... ...\vert\psi(t)\right\rangle -\left\vert\psi(t)\right\rangle %e7$$ (3.7)

$\widehat{U}(t,t)$ は何も待たないことになり、状態を変換しないオペレータ $\widehat{I}$ に等しいから、 $\widehat{U}(t+\Delta t,t)$ は $\Delta t=0$ で $\widehat{I}$ になる。 $\Delta t$ が増加するにつれ、 $\widehat{U}(t+\Delta t,t)$ の 各成分は、$\widehat{I}$ からずれていく。 従って、 $\widehat{U}(t+\Delta t,t)-\widehat{I}$ を $\Delta t$ で割り、 $\Delta t\rightarrow0$ とすれば、$\widehat{U}$ の各成分を $t$ で 微分したオペレータが得られる。 これを、慣習上、 $\widehat{H}(t)/i\hbar$ と表す ($i\hbar$ は、後に 示すように、物理的な量との対応をとるための、調整用に入れた量である)。

$$\widehat{H}(t)=i\hbar\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\widehat{U}(t +\Delta t,t)-\widehat{I}}{\Delta t} %e8$$ (3.8)

この$\widehat{H}$ をハミルトニアンオペレータ(Hamiltonian operator)と呼ぶ。 この定義を用いると、式3.7の両辺を $\Delta t$ で 除し、 $\Delta t\rightarrow0$ とすることにより、次の微分方程式を得る。

$$i\hbar\frac{d\left\vert\psi(t)\right\rangle }{dt}=\widehat{H}(t)\left\vert\psi(t)\right\rangle %e9$$ (3.9)

これが、量子力学における運動方程式(equation of motion)である。

$\widehat{U}$ がユニタリーオペレータ(unitary operator)であると、その微係数の $i\hbar$ 倍である $\widehat{H}$ は、次の式を満たすことがわかる。

$$\widehat{H}^\dagger=\widehat{H} %e10$$ (3.10)

この関係を満たすオペレータを、一般に、エルミートオペレータ(Hermitian operator)と 呼ぶ。

問題3..2 $\widehat{U}^\dagger\widehat{U}=\widehat{I}$ より、その微係数の $i\hbar$ 倍の $\widehat{H}$ が、エルミートオペレータとなることを示せ。

ヒント $\widehat{U}(t+\Delta t,t)=\widehat{I}+i\hbar\widehat{H}(t)\Delta t+O(\Delta t^2)$ とし、与式へ代入し、$\Delta t$ の一乗の項を比較してみよ。

問題3..3 運動方程式3.9を、成分に展開した形で表してみよ。

答え

$$i\hbar\frac{d\left\langle\left.j\right\vert\psi(t)\right\ra... ...i(t)\right\rangle \qquad\left(\mbox{for all $j$}\right) %e11$$ (3.11)

あるいは、丁寧に書くと次のようになる。

$$%e12 \left. \begin{array}{rcl} {\displaystyle i\hbar\frac{... ...ts \\ \noalign{\vskip0.5em} \cdots \end{array} \ \right\}$$ (3.12)

上式には、 $\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle ,\left\langle\left.2\right\v... ...si(t)\right\rangle ,\cdots, \left\langle\left.n\right\vert\psi(t)\right\rangle$ という $n$ 個の変数が含まれ、かつ、それぞれの 一次の微分しか含まれていない $n$ 元 1 階線型微分方程式となっている。

特に、 $\widehat{U}(t+\Delta t,t)$ が、$t$ に依存せず、$\Delta t$ だけの関数 $\widehat{U}(\Delta t)$ になるとき、つまり、時不変な系では、 $\widehat{H}(t)$ は $t$ に依存しない一定のオペレータとなり、 式3.11または式3.12で、 $\left\langle i\right\vert\widehat{H}(t)\left\vert j\right\rangle$ なる係数が、すべて、時間によらない 一定値となる。 このような時不変の系というと、何も運動がないように、 勘違いしがちであるが、あくまでも、環境が時不変であるだけであって、質点は 運動するものであることは、以下の各節で示される。