ハミルトニアン・オペレータ$\widehat{H}$

ハミルトニアン・オペレータ $\widehat{H}$ は、どのような物理的意味を 持っているのだろうか。 それを理解するために、簡単な運動方程式を解いてみよう。 運動方程式3.11で、もっとも簡単な形というのは、 基底状態が一つしかなく、かつ、時不変の場合である。 このとき、任意の状態は、一個の基底で展開されるだけとなる。 例えば、その基底を $\left\vert 1\right\rangle$ とすると、 $\left\vert\psi(t)\right\rangle$ の成分は、 $\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle$ のみとなる。 また、$\widehat{H}$ の成分も、 $\left\langle 1\right\vert\widehat{H}\left\vert 1\right\rangle$ のみとなる。 これを、$H_{11}$ と表す。 従って、運動方程式は簡単に表される。

$$i\hbar\frac{d\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\ra... ...{11}\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle %e13$$ (3.13)

まず、式3.10のエルミート性より、 $H_{11}=H_{11}^*$ となり、$H_{11}$ は実数である (実は、これが実数となるように、 $\widehat{H}$ の定義のさい、係数に、複素数を導入したのであるが、詳しくは、 後に述べる)。 さらに、時不変であるから、$H_{11}$ は時間によらない一定値となる。 上式は、一元一階微分方程式であり、その解は、容易に求めることができる。 微分方程式に限らず、差分方程式でも積分方程式でも、方程式が線型の 場合は、 $\exp(\lambda t)$ といった、指数関数の形が、解になる。 そこで、ここでも、次の形の解を、仮定してみよう。

$$\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle =\alpha\exp(\lambda t) %e14$$ (3.14)

この形の解を、式3.13へ代入すると、 $d\exp(\lambda t/dt) =\lambda\exp(\lambda t)$ となることから、 $i\hbar\lambda\alpha \exp(\lambda t)=H_{11}\alpha\exp(\lambda t)$ となる。 従って、 $i\hbar\lambda=H_{11}$、つまり、 $\lambda=-iH_{11}/ \hbar$ であれば、式3.14は、式3.13の 解となることがわかる。 $\alpha$ はどんな数であっても、この解は式3.13を 満たすが、$t=0$ で、 $\left\vert\psi(t)\right\rangle$ が $\left\vert\psi(0)\right\rangle$ であるということを考慮すると、 $\alpha=\left\langle\left.1\right\vert\psi(0)\right\rangle$ となる。 これより次式が得られる。

$$\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle =\left\l... ...ht\vert\psi(0)\right\rangle \exp\frac{-iH_{11}t} \hbar %e15$$ (3.15)

この式から、 $\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle$ は、図3.1のように、 複素平面を $\omega \hspace{1em}(=H_{11}/\hbar)$ の角周波数で、 負方向に回転するベクトルになることが、わかる。 基底状態が一個しかないことを考えると、 $\vert\left\langle\left.1\right\vert\psi(0)\right\rangle \vert^2=1$ であるから、 $\vert\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle \vert^2$ も常に 1 となる。

図 3.1: $n=1$ のときの運動方程式の解

ここで第1章で述べたアインシュタインの関係(Einstein relation)を、 思い起こしてもらいたい。 「エネルギー $E$ の量子状態、に対応する確率振幅は、 $\exp(-i\omega t)$ ^3.1の 形で時間変化し、 $E=\hbar \omega$ の関係がある。」 このことと、式3.15を見比べてみると、$E=H_{11}$ となり、状態 $\left\vert\psi(t)\right\rangle$ は、$H_{11}$ のエネルギーを 持っていることになる。 このように、$\widehat{H}$ は、エネルギーと極めて密接な関係にある、 オペレータである。 もともと、ハミルトニアンという言葉は、古典力学で、系の全エネルギーを 運動量と位置のみを変数として表したものに、付けられた名前であり、その 概念を、量子力学に発展させたものが、ハミルトニアンオペレータである。 $\widehat{H}$ の定義の際、$i\hbar$ という係数を導入したのは、$\widehat{H}$ が、直接エネルギーに対応するように工夫した結果である。

では、$n=2$、つまり系が、二個の基底状態で表現できる場合を、 考えてみよう。 $\left\langle j\right\vert\widehat{H}\left\vert k\right\rangle$ を $H_{jk}$ と表すと、次の 運動方程式になる。

$$%e16 \left. \begin{array}{rcl} {\displaystyle i\hbar\frac{... ...ft.2\right\vert\psi(t)\right\rangle \end{array} \ \right\}$$ (3.16)

$\widehat{H}$ のエルミート性、 $\widehat{H}^\dagger=\widehat{H}$ より、次式が 得られる。

$$H_{11}=H_{11}^*,\qquad H_{12}=H_{21}^*,\qquad H_{22}=H_{22}^* %e17$$ (3.17)

つまり、$H_{11}$ と $H_{22}$ は実数、$H_{12}$ と $H_{21}$ は、 互いに複素共役となる。

まず、$t=0$ で、 $\left\langle\left.1\right\vert\psi(0)\right\rangle$ がたまたま、0 であったとしてみよう。 すると、式3.16の上式を積分することにより、 $\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle \cong-iH_{12}\left\langle\left.2\right\vert\psi(t)\right\rangle t/\hbar$ が得られる。 このように、 $\left\langle\left.2\right\vert\psi(t)\right\rangle$ の寄与により、 $\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle$ は、徐々に 0 から増加していく。 つまり、$H_{12}$ は、 $\left\langle\left.2\right\vert\psi(t)\right\rangle$ が、どのくらい $\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle$ に影響を及ぼしているかの程度を、示している。 逆に、$H_{21}$ は、 $\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle$ が $\left\langle\left.2\right\vert\psi(t)\right\rangle$ に及ぼす影響の程度を、示している。 従って、 $\left\langle\left.2\right\vert\psi(t)\right\rangle$ が小さく、 $\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle$ が大きい場合には、 $\ bracket2{\psi(t)}$ は、 $\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle$ の影響で、徐々に 増加していくことになる。

$\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle$ は、考えている系の状態が、 $\left\vert 1\right\rangle$ という 状態をとる確率振幅であり、同様に、 $\left\langle\left.2\right\vert\psi(t)\right\rangle$ は、 $\left\vert 2\right\rangle$ 状態をとる確率振幅であるから、前式に述べた現象は、系が $\left\vert 2\right\rangle$ の状態にいる可能性が減少し、 $\left\vert 1\right\rangle$ の状態にいる 可能性が増加することを、示している。 このことを、状態 $\left\vert 2\right\rangle$ から $\left\vert 1\right\rangle$ への遷移(transition)、と呼ぶ。 このように、$H_{12}$ は、 $\left\vert 2\right\rangle$ から $\left\vert 1\right\rangle$ への遷移に強く 関係し、$H_{21}$ は、 $\left\vert 2\right\rangle$ から $\left\vert 1\right\rangle$ への遷移に強く関係する 量である。 また、 $H_{12}=H_{21}^*$ より、これら両遷移の程度は等しくなる。

$H_{11}$ と $H_{22}$ は、式3.16で、 $H_{12}=H_{21}=0$ としてみると、物理的意味が明らかになる。 この場合、二つの式はそれぞれ独立となり、上の式からは、 式3.15と同じ形の解が、得られる。 つまり、 $\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle$ は、$H_{11}$ のエネルギーを持ち、 同様にして、 $\left\langle\left.2\right\vert\psi(t)\right\rangle$ は、$H_{22}$ のエネルギーを 持つことが、示される。

以上をまとめると、ハミルトニアンオペレータ $\widehat{H}$ の非対角成分 $H_{jk}$ は、ある状態 $\left\vert k\right\rangle$ から、別の状態 $\left\vert j\right\rangle$ への 遷移の可能性を表しており、確率振幅の結合の程度を示している。 また、対角成分 $H_{jj}$ は、状態間の結合のない ($H_{jk}$ がすべて 0 の) 場合の、各状態のエネルギーを表しているといえる。