運動方程式の解

具体的な物理系で、ハミルトニアンオペレータ $\widehat{H}$ の各成分が、 どのような値となるかについては、次章に譲ることとして、ここでは、 運動方程式を解く数学的手法について、述べてみよう。

$n$ 状態系での運動方程式は、 $\left\langle j\right\vert\widehat{H}\left\vert k\right\rangle =H_{jk}$、 $\left\langle\left.j\right\vert\psi(t)\right\rangle =\psi_j(t)$ と表すと、次のようになる。

$$%e18 \left. \begin{array}{rcl} {\displaystyle i\hbar\frac{... ...displaystyle \sum_k H_{nk}\psi_k(t)} \end{array} \ \right\}$$ (3.18)

この微分方程式は、$\widehat{H}$ が時不変、つまり、$H_{jk}$ がすべて 定数のときは、比較的簡単に、解くことができる。 一状態系のときには、 $\psi_1(t)=\alpha\exp(\lambda t)$ という解を 仮定したが、これと同じような解を仮定してみよう。

$$%e19 \left. \begin{array}{rcl} \psi_1(t)&=&{\displaystyle\... ...style\alpha_n\exp\frac{-iEt}\hbar } \end{array} \ \right\}$$ (3.19)

$\lambda$ の代わりに、後の説明の都合上、$-iE/\hbar$ と表してある。 この形を、式3.18へ代入してみると、 $i\hbar d(\exp(-iEt/ \hbar)/dt=E\exp(-iEt/\hbar)$ を利用して、次式が得られる。

$$%e20 \left. \begin{array}{rcl} E\alpha_1&=&\sum H_{1k}\alp... ...\\ E\alpha_n&=&\sum H_{nk}\alpha_k \end{array} \ \right\}$$ (3.20)

ただし、両辺を $\exp(-iEt/\hbar)$ で除してある。 したがって、これらの式を同時に満たす、$E$ と $\alpha_1,\alpha_2, \cdots,\alpha_n$ が存在すれば、微分方程式は解けることになる。 上式を、ブラケット表示でまとめておこう。

$$E\left\vert\alpha\right\rangle =\widehat{H}\left\vert\alpha\right\rangle %e21$$ (3.21)

問題3..4 以上の議論を、式3.9のブラケット表示の 運動方程式をもとに、ブラケット表示のまま進め、式3.21を 求めよ。

式3.20の形の方程式を解くことをオペレータ $\widehat{H}$ の 固有値問題(eigen value problem)と呼ぶ。 またその解 $E$ を $\widehat{H}$ の固有値(eigen value)、 $\left\vert\alpha\right\rangle$ を$\widehat{H}$ の固有状態(eigen state) (固有ベクトル(eigen vector)) と呼ぶ。 式3.20を移項しよう。

$$%e22 \left. \begin{array}{rcl} (H_{11}-E)\alpha_1+H_{12}\a... ...lpha_2+\cdots+(H_{nn}-E)\alpha_n&=&0 \end{array} \ \right\}$$ (3.22)

あるいは、次のようになる。

$$(\widehat{H}-E\widehat{I})\left\vert\alpha\right\rangle =\left\vert\right\rangle %e23$$ (3.23)

このように、 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ という、$n$ 個の変数の $n$ 元連続方程式の右辺が、すべて 0 の場合は、 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ がすべて 0 という、分かり切った解しか存在しない。 ただし、一つだけ例外があり、次に示す各係数の作る行列式の値が0の場合は、 すべてが 0 ではない解を、持ち得る。

$$\left\vert\matrix{ H_{11}-E & H_{12} & \cdots & H_{1n} \cr... ...r H_{n1} & H_{n2} & \cdots & H_{nn}-E \cr}\right\vert=0 %e24$$ (3.24)

まとめると、次のようになる。

$$det(\widehat{H}-E\widehat{I})=0 %e25$$ (3.25)

この行列式は、$E$ のいくつかの特定の値に対して、0 となる。 具体的には、この行列式を展開し、$E$ の $n$ 次の代数方程式とし、 その $n$ 個の根、 $E_1,E_2,\cdots,E_n$ を求めればよい。 つまり、式3.24の行列式を 0 にするような $E$ の値は、 $n$ 個存在することになる。 この $n$ 個の根が、$\widehat{H}$ の固有値である。

固有値が求まれば、各固有値に対する固有状態を、計算することができる。 それには、得られた固有値の一つ $E_I$ を、式3.22 へ代入し、連立方程式を解けばよい。 固有値に対しては、係数の作る行列式の値が、式3.24 のように、0 であるから、すべてが 0 でない、 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ の組を、求めることができる。 具体的には、$\alpha_1=1$ とおいて右辺へ移項し、$n$ 本の 方程式のうち、一本を落とした $n-1$ 本の方程式を解き、 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ を求めれば良い。 これがうまくいかない場合は、別の、例えば、$\alpha_2=1$ として解けば良い。

このようにして得られた、一組の $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$、 あるいは、 $\left\vert\alpha\right\rangle$ を固有値 $E_J$ の固有状態と呼び、 特に $\left\vert E_J\right\rangle$ と書く場合が多い。 この場合次式が成立する。

$$\widehat{H}\left\vert E_J\right\rangle =E_J\left\vert E_J\right\rangle %e26$$ (3.26)

また、固有状態は、正規化されている方が、先の計算に便利なため、 ${\displaystyle\sum_j\vert\left\langle\left.j\right\vert E_J\right\rangle \vert^2=1}$ つまり、次式が 成立するように、 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ に、適当な定数を 掛けておくことが多い。

$$\left\langle\left.E_J\right\vert E_J\right\rangle =1 %e27$$ (3.27)

今後、特に断らない限り、固有状態は、正規化するものとする。 このようにして、すべての固有値に対し、正規化した固有状態 $\left\vert E_J\right\rangle$ を、求めることができる。

かなり長い計算となってしまったので、何を目的とした計算か、忘れてしまった かもしれないが、このようにして求められた、$E_J$、 $\left\vert E_J\right\rangle$ を、 式3.19へ代入して得られる、

$$\left\vert\psi(t)\right\rangle =\left\vert E_J\right\rangle \exp\frac{-iE_Jt}\hbar %e28$$ (3.28)

この式が、運動方程式、 $i\hbar d\left\vert\psi(t)\right\rangle /dt=\widehat{H} \left\vert\psi(t)\right\rangle$ の一つの解になることは、代入してみれば 明らかであろう。 さらに、式3.28の解をすべての $E_J$、 $\left\vert E_J\right\rangle$ に対し、任意の係数を掛けて、加え合せたものも、 運動方程式の解となる。

$$\left\vert\psi(t)\right\rangle =\sum_J\left\vert E_J\right\rangle \exp\frac{-iE_Jt}\hbar c_J %e29$$ (3.29)

$c_J$ の値は、$t=0$ で、上式の右辺が $\left\vert\psi(0)\right\rangle$ に 等しくならねばならないことから、決定することができる。 具体的な計算の仕方は、もう少し学ばないといけないが、結果は、 $c_J= \left\langle\left.E_J\right\vert\psi(0)\right\rangle$ となる。 従って、初期条件まで考慮に入れた、運動方程式の解(solution for equation of motion)が得られる。

$$\left\vert\psi(t)\right\rangle =\sum_J\left\vert E_J\right\... ...bar\left\langle\left.E_J\right\vert\psi(0)\right\rangle %e30$$ (3.30)

問題3..5 式3.29が、運動方程式の解になることを、確かめよ。

問題3..6 $\widehat{H}=\left(\matrix{2&1\cr1&2\cr}\right)$ に対し、次の各問に答えよ。

1. $\widehat{H}$ により、長さ 1 の種々の状態 $\left\vert\psi\right\rangle$ は、 どのように変換されるであろうか。 簡単のために、状態 $\left\vert\psi\right\rangle$ の二成分、 $\left\langle\left.1\right\vert\psi\right\rangle$、 $\left\langle\left.2\right\vert\psi\right\rangle$、は実数とし、かつ、二次元空間の 単位円上の8分割点の $x$ および $y$ 座標を、代表値として代入し、 それらが変換された状態を、おなじ二次元座標に、プロットしてみよ。
2. $\widehat{H}$ の固有値と固有状態 (固有ベクトル) を、1. により 得られた図から、視察により求めよ (固有ベクトルの方向は、$\widehat{H}$ で 変換を受けても、変わらない)。 また、前述の行列式による計算方法で、固有問題を解け。

答え

1. 図3.2

   図: $\widehat{H}$ による変換

   
2. $\left(\matrix{1/\sqrt2\cr1/\sqrt2\cr}\right)$、または、 $\left(\matrix{-1/\sqrt2\cr -1/\sqrt2\cr}\right)$ の固有状態に対し、固有値 3、

   $\left(\matrix{1/\sqrt2\cr-1/\sqrt2\cr}\right)$、または、 $\left(\matrix{-1/\sqrt2\cr 1/\sqrt2\cr}\right)$ の固有状態に対し、固有値 1。

問題3..7 前問のハミルトニアンに対し、 $\left\vert\psi(0)\right\rangle$ が、 $\left(\matrix{1\cr0}\right)$ であるとして、運動方程式の解を求めよ。

答え

$$\begin{eqnarray*} \left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle &=&\frac12... ...=&\frac12\left[\exp\frac{-i3t}\hbar -\exp\frac{-it}\hbar\right] \end{eqnarray*}$$

問題3..8 前問の結果を用い、この系の時間経過演算子、 $\widehat{U}(t,0)$ を求めよ。 また、この $\widehat{U}(t,0)$ が、ユニタリーオペレータであることを示せ。

ヒント $\left\langle\left.1\right\vert\psi(0)\right\rangle =A$、 $\left\langle\left.2\right\vert\psi(0)\right\rangle =B$ として、 $\left\langle\left.1\right\vert\psi(t)\right\rangle$、 $\left\langle\left.2\right\vert\psi(t)\right\rangle$ を求めよ。

答え

$$\begin{eqnarray*} \frac12\left(\matrix{ {\displaystyle\exp\frac{-i3t}\hbar+\ex... ...isplaystyle\exp\frac{-i3t}\hbar+\exp\frac{-it}\hbar} \cr}\right) \end{eqnarray*}$$

$\left\langle j\right\vert\widehat{U}(t,0)\left\vert k\right\rangle$ の具体的な形を計算しておくと、どんな 初期状態からスタートしても、$t$ 秒後の状態を簡単に求めることが出来る。 この意味で微分方程式の重要な概念であり、特にグリーン関数(Green function)、 あるいはグリーン核(Green kernel)とも呼ばれる。