固有状態の直交性

$n$ 次のオペレータの、固有値問題の答えは、全部で $n$ 個存在するが、 その $n$ 個の固有状態は、互いに直交することが知られている。 したがって、正規化された固有状態は、正規直交系を構成するため、一組の 基底状態となることができる。 本節では、このことを、一般的に示そうと思うが、やや、数学的過ぎるので、 難解であるときは、とばして、あとから、読んでも差し支えない。

まず、互いに異なる固有値に対応する固有状態が、直交することを示そう。 オペレータ $\widehat{A}$ の、固有値の一つ、$a_1$ に対応する固有状態、 $\left\vert a_1\right\rangle$ を求めるには、前節にも述べたように、次の $n$ 元連立方程式の解を、 $\left\vert a_1\right\rangle$ とすればよい。

$$(\widehat{A}-\lambda\widehat{I})\left\vert a\right\rangle =0 %e31$$ (3.31)

このケットベクトルの代わりに、同様な $n$ 元連立方程式を 解くことにより、ブラベクトルの固有状態、 $\left\langle a_1'\right\vert$ を 求めることもできる。

$$\left\langle a\right\vert(\widehat{A}-\lambda\widehat{I})=0 %e32$$ (3.32)

ブラ固有状態(bra eigen state)は、一般のオペレータの場合には、必ずしも、 ケット固有状態(ket eigen state)の転置複素共役とは限らないから、 $\left\langle a_1'\right\vert$ のように、'を付した。 さて、$a_1$ と異なる別の固有値を $a_2$ とし、それに対応するケット 固有状態、ブラ固有状態を、 $\left\vert a_2\right\rangle$、 $\left\langle a_2'\right\vert$ としよう。

$$\left\langle a_1'\right\vert\widehat{A}=\left\langle a_1'\right\vert a_1 %e33$$ (3.33)

$$\widehat{A}\left\vert a_2\right\rangle =a_2\left\vert a_2\right\rangle %e34$$ (3.34)

式3.33の右より、 $\left\vert a_2\right\rangle$ を掛けたものと、 式3.34の左より、 $\left\langle a_1'\right\vert$ を掛けたものの、 差をとると、 $(a_1-a_2)\left\langle\left.a_1'\right\vert a_2\right\rangle =0$ が得られる。 $a_1\neq a_2$ であるから、次式のようになる。

$$\left\langle\left.a_1'\right\vert a_2\right\rangle =0 %e35$$ (3.35)

このようにして、 $\left\langle a_1'\right\vert$ は、 $\left\vert a_1\right\rangle$ 以外のすべての $n-1$ 個の固有状態と、直交することが示される。 したがって、もし$\widehat{A}$ が、$n$ 個の異なる固有値を持つ場合には、 その $n$ 個の固有状態は、すべて、互いに直交すると言える。

それでは、$n$ 個の固有値のうち、いくつかが、等しいときは、 どうなるだろうか。 $\vert a\widehat{I}-\widehat{A}\vert=0$ が、等しい固有値を $n$ 個持つとき、つまり、 $n$ 重根の場合、その固有値は、$n$ 重に縮退している、あるいは縮退度 $n$ であると呼ぶ。 一般のオペレータで、固有値が縮退しているときには、対応する固有状態が、 縮退度の数だけ得られないこともある。 しかし、量子力学で扱うオペレータは、ほとんど、エルミートオペレータか ユニタリーオペレータであり、この二種類のオペレータについては、 幸いにして、つねに、縮退度の数だけの固有状態が、得られることが 知られている。 詳しい説明は数学の専門書に譲るとして、$n$ 重根に対応する固有状態を 求めると、$n$ 個の自由度を持った解が得られる。 つまり、$n$ 個の、勝手に変えられる変数を含んだ、固有状態が得られる。 従って、第2章に述べた、シュミットの直交化法を用いると、 $n$ 個の互いに直交する固有状態が、得られる。

$\widehat{A}$ が、エルミートオペレータの場合には、固有値は 実数になることが、証明できる。 エルミートオペレータを $\widehat{H}$ と書くと、その固有値、固有状態を $h$、 $\left\vert h\right\rangle$ として、次式が成立する。

$$\widehat{H}\left\vert h\right\rangle =h\left\vert h\right\rangle %e36$$ (3.36)

さて、この式の転置複素共役を、とってみよう。

$$\left\langle h\right\vert h^*=\left\langle h\right\vert\widehat{H}^\dagger %e37$$ (3.37)

$\left\langle h\right\vert$ は、 $\left\vert h\right\rangle$ の転置複素共役である。 式3.36 の左より、 $\left\langle h\right\vert$ を掛けたものと、 式3.37の右より、 $\left\vert h\right\rangle$ を掛けたものとを、 比較してみよう。 $\widehat{H}=\widehat{H}^ \dagger$ であるから、左辺同士は当然等しくなる。 したがって、 $(h-h^*)\left\langle\left.h\right\vert h\right\rangle =0$。 $\left\langle\left.h\right\vert h\right\rangle$ は $\left\vert h\right\rangle$ の各成分の絶対値の二乗和となり 0 でないから次式が得られる。

$$h=h^* %e38$$ (3.38)

つまり、固有値は実数となる。 さらに、式3.37の $h^*$ を、$h$ と 書替えてみると、 $\left\langle h\right\vert$ は、$\widehat{H}$ の $h$ を固有値とするブラ 固有状態となっていることがわかる。 つまり、式3.33のように考えると、 $\left\langle h'\right\vert$ は、 実は $\left\langle h\right\vert$ であることがわかる。 従って、式3.35は次式のようになる。

$$\left\langle\left.h_j\right\vert h_k\right\rangle =0 \qquad\left(\mbox{$j\neq k$}\right) %e39$$ (3.39)

さらに、 $\left\langle\left.h_j\right\vert h_j\right\rangle =1$ のように正規化を行えば、 $\{\left\vert h_j\right\rangle \}$ は正規直交系を組むようにできる。 $n$ 次の物理系で、$n$ 個の正規直交系を組む状態は、一組の基底状態を 形成することから、 $\{\left\vert h_j\right\rangle \}$ は、一組の基底状態となる。

同様なことは、任意のユニタリーオペレータ $\widehat{U}$ についても、 言うことができる。

$$\widehat{U}\left\vert u\right\rangle =u\left\vert u\right\rangle %e40$$ (3.40)

この式に、その転置複素共役である、次式を辺々掛け合わせる。

$$\left\langle u\right\vert\widehat{U}^\dagger=\left\langle u\right\vert u^* %e41$$ (3.41)

さらに、 $\widehat{U}^\dagger\widehat{U}=\widehat{I}$ を利用すると、 $\left\langle\left.u\right\vert u\right\rangle =u^*u\left\langle\left.u\right\vert u\right\rangle$ となり、次式が得られる。

$$\vert u\vert^2=1 %e42$$ (3.42)

つまり、固有値の絶対値は1となる。 さらに、式3.41の右より、辺々に $\widehat{U}u$ を掛け、 $\ op U^ \dagger\widehat{U}=\widehat{I}$、$u^*u=1$ を利用すると、次式が 得られる。

$$\left\langle u\right\vert u=\left\langle u\right\vert\widehat{U} %e43$$ (3.43)

つまり、 $\left\langle u\right\vert$ は、$\widehat{U}$ のブラ 固有状態となっていることがわかる。 したがって、エルミートオペレータと同様の考察により、次式が得られ、 として、 $\{\left\vert u_j\right\rangle \}$ が一組の基底状態となることが示される。

$$\left\langle\left.u_j\right\vert u_k\right\rangle =\delta_{jk} %e44$$ (3.44)

問題3..9 次の三つのオペレータに対し、エルミートか、ユニタリーか、それ 以外であるかを、確かめよ。 さらに、それぞれの固有値問題を解き、固有値、ブラ固有状態、ケット 固有状態を求めよ。 縮退のあるときは縮退度を求め、可能な限り、固有状態が基底状態を 構成するように、してみよ。 また、上の各式を検討してみよ。

(1) $\left(\matrix{i & 0 & 0 \cr 0 & (i-1)/2 & (i+1)/2 \cr 0 & (i+1)/2 & (i-1)/2}\right)$         (2) $\left(\matrix{0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr -1 & 1 & 1}\right)$         (3) $\left(\matrix{1 & 0 & i \cr 0 & 2 & 0 \cr -1 & 1 & 1}\right)$

答え

(1)	ユニタリ。 $\vert固有値\vert$=1。
	$i$ (二重): $\left(\matrix{1 & 0 & 0 \cr}\right)$ と $\left(\matrix{0 & 1/\sqrt2 & 1/\sqrt2}\right)$、またはその線型結合とそれらの転置共役。
	$-1$: $\left(\matrix{0 & 1/\sqrt2 & -1/\sqrt2}\right)$ とその転置共役。
(2)	以外。 正規直交系は形成出来ない。
	1(二重): $\left(\matrix{1/\sqrt2 & 0 & -1/\sqrt2}\right)$、 $\left(\matrix{1/\sqrt3 & 1/\sqrt3 & 1/\sqrt3}\right)^t$。
	$-1$: $\left(\matrix{1/\sqrt6 & -2/\sqrt6 & 1/\sqrt6}\right)$、 $\left(\matrix{1/\sqrt3 & -1/\sqrt3 & 1/\sqrt3}\right)^t$。
(3)	エルミート。 実数固有値.
	2(二重): $\left(\matrix{0 & 1 & 0 \cr}\right)$ と $\left(\matrix{1/\sqrt2 & 0 & i/\sqrt2 \cr}\right)$、またはその線型結合とそれらの転置共役。
	0: $\left(\matrix{1/\sqrt2 & 0 & -i/\sqrt2 \cr}\right)$ とその転置共役。