第3.章のまとめ

1. 運動方程式
   
   $$i\hbar\frac{d\left\vert\psi(t)\right\rangle }{dt}=\widehat{... ...ht\rangle \left\langle\left.k\right\vert\psi(t)\right\rangle$$
   
   
   • ハミルトニアン $\widehat{H}(t)$ はエルミートオペレータ
   • $\left\langle j\right\vert\widehat{H}(t)\left\vert k\right\rangle \quad (j\neq k)$ は、状態 $\left\vert k\right\rangle$ から状態 $\left\vert j\right\rangle$ への遷移の程度
   • $\left\langle j\right\vert\widehat{H}(t)\left\vert j\right\rangle$ は、遷移項を 0 としたときの、 $\left\vert j\right\rangle$ 状態のエネルギー
2. 運動方程式の解
   
   $$\left\vert\psi(t)\right\rangle =\widehat{U}(t,0)\left\vert\psi(0)\right\rangle$$
   
   
   • 時不変 ( $\widehat{H}(t)=\widehat{H}$) の場合
     
     $$\widehat{U}(t,0)=\sum_J\left\vert E_J\right\rangle \exp\fra... ...eft\vert E_J\right\rangle $ は $\widehat{H}$ の固有解}\right)$$
     
     

3. 固有値問題
   • $\widehat{A}\left\vert a\right\rangle =a\left\vert a\right\rangle$ を満たす固有解 ($a$: 固有値、 $\left\vert a\right\rangle$: 固有ケット状態)
   • $\left\langle a'\right\vert\widehat{A}=\left\langle a'\right\vert a$ を満たす固有解 ($a$: 固有値、 $\left\langle a'\right\vert$: 固有ブラ状態)
   • 固有値 $a_i$: $\vert a\widehat{I}-\widehat{A}\vert=0$ の解として求まる
     $n$ 個。 $k$ 重根のとき、対応する固有状態は$k$ 重の縮退があると言う
   • 固有ブラ状態 $\left\vert a_j\right\rangle$: $(\widehat{A}-a_j\widehat{I})\left\vert a_j\right\rangle =0$ の解
     固有ケット状態 $\left\langle a_j'\right\vert$: $\left\langle a_j'\right\vert(\widehat{A}-a_j\widehat{I})=0$ の解
   • 縮退がなければ必ず $\left\langle\left.a_j'\right\vert a_k\right\rangle =\delta_{jk}$ とできる
4. エルミートオペレータ $\widehat{H}$ の固有解: $h_j$、 $\left\vert h_j\right\rangle$、 $\left\langle h_j'\right\vert$
   • $h_j$: 実数
   • $\left\langle h_j'\right\vert=(\left\vert h_j\right\rangle )^\dagger=\left\langle h_j\right\vert \qquad\left(\mbox{縮退があっても}\right)$
   • $\{\left\vert h_j\right\rangle \}$ は基底状態を組む
5. ユニタリーオペレータ $\widehat{U}$ の固有解: $u_j$、 $\left\vert u_j\right\rangle$、 $\left\langle u_j'\right\vert$
   • $u_j$: 絶対値 1
   • $\left\langle u_j'\right\vert=(\left\vert u_j\right\rangle )^\dagger=\left\langle u_j\right\vert \qquad\left(\mbox{縮退があっても}\right)$
   • $\{\left\vert u_j\right\rangle \}$ は基底状態を組む