運動方程式の解

二準位系の運動方程式を解くには、二行二列のハミルトニアン行列の、 固有値問題の解を、求めればよかった。 それと同様に、格子上の粒子の運動も、式5.5の、ハミルトニアン 行列の固有値問題を解くことに、帰着される。 まず、定法に従って、定常状態の解を求める。 定常状態は、次式のように、一定の角周波数 $-E/\hbar$ で変化する。

$$\left\langle\left.x_j\right\vert\psi(t)\right\rangle =\left... ...le\left.x_j\right\vert E\right\rangle \exp\frac{-iEt}\hbar %e8$$ (5.6)

これを、式5.4へ代入することにより、$\widehat{H}$ の 固有値問題になる。

$$E\left\langle\left.x_j\right\vert E\right\rangle =\sum_k\le... ...t\rangle \left\langle\left.x_k\right\vert E\right\rangle %e9$$ (5.7)

$H$ のサイズが、$3\times3$ ぐらいまでであると、 $\vert\widehat{H}-E\widehat{I}\vert =0$ の根 $E$ を求める方法で、固有値問題を解くことができるが、 式5.5のように、次数が高くなると、この方法は、絶望的になる。 一般には、高次の固有値問題は、解析的には解けず、計算機による近似解しか 得られないと考えてよい。 しかし、この式のように、比較的規則正しい構造の行列に対しては、別のうまい 方法が存在する。

式5.1のように、$j$ が変化しても、式の形が 変わらないという、並進対称(translational symmetry)性を持つ場合には、$j$ に 対して、 $\left\langle\left.x_j\right\vert E\right\rangle$ が、等比級数(geometric series)的に変化する 解のあることが期待される。

$$\left\langle\left.x_j\right\vert E\right\rangle =c\exp(\beta j) %e10$$ (5.8)

これを、式5.1へ、代入してみよう。

$$Ec\exp(\beta j)=E_0c\exp(\beta j)-Ac\exp[\beta(j-k)] -Ac\exp[\beta(j+1)]$$

この式は、両辺を $c\exp(\beta j)$ で割ってみると、$j$ によらず、 同じ形となる。

$$E=E_0-A\exp(-\beta)-A\exp(\beta) %e11$$ (5.9)

つまり、ある $j$ について、この式が成立すると、他のすべての $j$ に 対し、この式が成立することとなる。

ただし、両端の、$i=min$ と $max$ については、境界条件と 矛盾しないようになっている必要がある。 式5.2に、式5.8の解形式を代入し、 整理すると、以下のようになる。

$$\left. \begin{array}{l} E=E_0-A\exp[\beta(max-min)]-A\exp... ...-\beta)-A\exp[-\beta(max-min)] %e12e13 \end{array} \ \right\}$$ (5.10)

これらの式と、式5.9を比較すると、 $\exp[\beta(max-min)]$ は、$\exp(-\beta)$ に等しくなければならないことが、わかる。 $max-min=n-1$ であるから、結局、次の条件式が得られる。

$$\exp(\beta n)=1 %e14$$ (5.11)

この式を満たす $\beta$ は、$0$ だけのように、思われるかもしれないが、 $\beta$ として、複素数まで考えると、複数存在する。

$$\beta=i\frac{2\pi J}{n} \qquad\left(\mbox{$J$: 整数}\right) %e15$$ (5.12)

式5.8と5.9と組み合わせることにより、 ハミルトニアン行列の、固有状態と固有値が、得られることとなる。

$$\left\langle\left.x_j\right\vert E\right\rangle =c\exp\frac{i2\pi jJ}n %e16$$ (5.13)

$$E=E_0-2A\cos\frac{2\pi jJ}n %e17$$ (5.14)

この固有状態は、空間的にも変動している波動の形をしている。 つまり、周波数だけでなく波数の概念も持っている。 すでに周波数はアインシュタインの関係(Einstein relation)を利用してエネルギーと 関係付けられおりそれが式5.14の $E$ という形で 表現されている。 一方、式5.13の固有状態は、位置 $x_j=aj$ に対し、位相が 連続的に変動していることがわかる。 このような位相変動がある場合、ド・ブロイの関係(DeBroglie relation)によって、 運動量を持っている運動量確定状態(momentum defined state)として観測されるはずである。 したがって、上式は次の式のように書き直すことができるはずである。 $p_J$ に対応するエネルギー固有値も $E_J$ と記載している。

$$\left\langle\left.x_j\right\vert p_J\right\rangle =c\exp\frac{i2\pi jJ}n=c\exp\frac{ip_Jx_j} \hbar %e18$$ (5.15)

$$E_J=E_0-2A\cos\frac{p_Ja}{\hbar} %e19$$ (5.16)

前式と比較すると、$p_J$ と $J$ を結び付ける式が得られる。

$$p_J=\frac{2\pi\hbar}LJ \qquad\left(\mbox{$min\le J\le max$ \hspace{1em}整数}\right) %e20$$ (5.17)

運動方程式の一般解の形は、上記 $n$ 個の解に、 $\exp(-iE_Jt/\hbar)$ で示される時間変化の項を掛けたものを、線型結合したものとなる。 線型結合の際の結合係数は、第3章で示したように $\left\langle\left.p_J\right\vert\psi(0)\right\rangle$ で与えられるから、一般解は以下のようになる。

$$\left\langle\left.x_j\right\vert\psi(t)\right\rangle =\sum_... ...ar\left\langle\left.p_J\right\vert\psi(0)\right\rangle %e23$$ (5.18)

初期状態が、 $\left\vert x_j\right\rangle$ をとる確率振幅で与えられているときには、 さらに次のように表わすことができる。

$$\left\langle\left.x_j\right\vert\psi(t)\right\rangle = \frac{1}{\sqrt n}\sum_{J,k}\exp \frac{i(p_Jx_j-E_Jt)}\hbar\left\l... ...\vert x_k\right\rangle \left\langle\left.x_k\right\vert\psi(0)\right\rangle \cr$$ (5.19)

ここで、$E_J$ は、無論、式5.16で与えられる。 これらの式は初期状態、つまり $t=0$ で、 $\left\vert\psi(t)\right\rangle$ が 空間的あるいは運動量空間的にどんな分布をとるかによって、時間の 経過とともに複雑な変化をする。 それについては、次節で学ぼう。

問題5..2 開放型境界条件の場合の、ハミルトニアン行列について、固有値問題を解け。

ヒント 式5.8の形の解は、両端末の方程式を満たさない。 こういう場合には、 $\left\langle\left.x_j\right\vert E\right\rangle =C\exp(\beta j)+D\exp(-\beta j)$ と仮定する。 さらに、式5.9と両端の式5.2と 比較すると、$C$、$D$、$\beta$ が定まる。

答え

$$\beta=i\frac{\pi J}{n+1} \qquad\left(\mbox{$J=1,2,\ldots,n+1$}\right)$$

$$D=-C\exp(i\pi I)=-(-1)^IC$$ (5.20)