対称性と対称操作

左右対称(bilaterally symmetry)であるとか、上下対称(diphycercal symmetry)であるとか、 点対称(point symmetry)であるという言葉がある。これらの対称(symmetry)性は、量子力学的にはどういう意味であろうか。左右対称とは、ある垂直面に対して右と左を入れ換えても変わらないことを示す。右と左を入れ換える対称操作(symmetrical operation) を示す対称操作オペレータ(symmetrical operator) を $\widehat{T}$ としよう。例えばある状態 $\left\vert\psi\right\rangle$ が左右対称であるとは、次のように記述できる。

$\begin{displaymath} \widehat{T}\left\vert\psi\right\rangle =\alpha\left\vert\psi\right\rangle \end{displaymath}$

(7.1)

$\alpha$ は同じ状態であっても位相が動き得ることを示している。つまり、 $\vert\alpha\vert=1$ である。

上下対称とは、ある水平面に対して上と下を入れ換えても変わらないことを示す。また、点対称とは、ある点に対し、例えば右上の点と左下の点を入れ換えるなど、対応する点をすべて入れ換えても変わらないことを示す。こうした対称操作は二回繰り返すと元へ戻ってしまう性質があるので、以下が成立する。

$\begin{displaymath} \widehat{T}\widehat{T}=\widehat{T}^2=\widehat{I} \end{displaymath}$

(7.2)

この式から、 $\widehat{T}$ の固有値が $\pm1$ の値しかとり得ないことを証明することができる。

問題7..1 二回繰り返すと元に戻る対称操作 $\widehat{T}$ の固有値問題を $\widehat{T} \left\vert t\right\rangle =t\left\vert t\right\rangle$ と書くことにして、が $\pm1$ であることを示せ。

答え前式7.2の右から $\left\vert t\right\rangle$ を掛けた式に対し、順番に固有値化していくと、 $t^2\left\vert t\right\rangle =\left\vert t\right\rangle$ が得られる。これから。

二回対称操作の固有値のことを、特にパリティ(parity)という。また、パリティ 1 を偶パリティ(even parity)、を奇パリティ(odd parity) ともいう。さて任意の対称状態 $\left\vert\psi\right\rangle$ の満たす式7.1を眺めて見ると、この式が $\widehat{T}$ の固有値問題の式と同じ形になっていることに気付くでろう。固有値が $\alpha$ で固有状態が $\left\vert\psi\right\rangle$ ということになる。したがって、二回で元に戻る対称操作に対しては、 $\left\vert\psi\right\rangle$ は $\widehat{T}$ の固有状態であり、かつその固有値は $\pm1$ のいずれかであることがいえる。固有値が 1 の状態を偶パリティ状態、固有値がの状態を奇パリティ状態という。

先に第4章の水素イオン分子モデルで示した各状態について左右対称性を調べて見よう。まず、 $\left\vert左\right\rangle$ と $\left\vert右\right\rangle$ の各々の状態は明らかに対称状態ではない。しかし、対称操作 $\widehat{T}$ によって、交互に入れ替わることができる。

$\begin{displaymath} \widehat{T}\left\vert左\right\rangle =\left\vert右\right\ra... ...idehat{T}\left\vert右\right\rangle =\left\vert左\right\rangle \end{displaymath}$

(7.3)

ここで、各変換に対し、任意位相が入り得るのであるが、とりあえずは無視して議論を進めよう。これを $\left\vert左\right\rangle$ 、 $\left\vert右\right\rangle$ を基底とした行列形式で書き表しておこう。

$\begin{displaymath} T: \left(\matrix{0 & 1 \cr 1 & 0}\right) \end{displaymath}$

(7.4)

この固有値問題の解答は次のようになる。

$\begin{displaymath} 固有値1: \frac1{\sqrt2}\left(\matrix{1 \cr 1}\right)=\left\... ...t2}\left(\matrix{1 \cr -1}\right)=\left\vert E_l\right\rangle \end{displaymath}$

(7.5)

つまり、 $\left\vert E_h\right\rangle$ は偶パリティの対称状態、 $\left\vert E_l\right\rangle$ は奇パリティの対称状態であることが判明する。確かに両状態とも左右に 1/2 ずつの確率で存在する状態であり、納得できる結果であろう。

問題7..2 上記の対称操作行列の固有値問題を解け。

もう一つ、第4章のスピンで示した各種の状態について、対称性を調べて見よう。例えば面に対する対称操作 $\widehat{T}$ であるが、明らかに次式が成立する。

$\begin{displaymath} \widehat{T}\left\vert+z\right\rangle =\left\vert-z\right\ra... ...idehat{T}\left\vert-z\right\rangle =\left\vert+z\right\rangle \end{displaymath}$

(7.6)

ここでも任意の位相ずれが入り得るが、とりあえず位相ずれは無視しておこう。これを $\left\vert+z\right\rangle$ 、 $\left\vert-z\right\rangle$ を基底とした行列形式で書き表すと、次のようになる。

$\begin{displaymath} T: \left(\matrix{0 & 1 \cr 1 & 0}\right) \end{displaymath}$

(7.7)

先と同様にこの固有値問題を解いて見ると次の固有解が得られる。

$\begin{displaymath} 固有値1: \frac1{\sqrt2}\left(\matrix{1 \cr 1}\right)=\left\... ...qrt2}\left(\matrix{1 \cr -1}\right)=\left\vert-x\right\rangle \end{displaymath}$

(7.8)

つまり、 $\left\vert+x\right\rangle$ は偶パリティの対称状態、 $\left\vert-x\right\rangle$ は奇パリティの対称状態であることが判明する。

これら両状態とも確かに面に対し対称である。しかし、スピンが面内にある状態はすべて対称状態のはずである。例えば、 $\left\vert+y\right\rangle$ に $\widehat{T}$ を掛けてみると、その結果は $\left\vert+y\right\rangle$ のスカラー倍とはならない。 $\left\vert-y\right\rangle$ についても同様である。それでは何故、これらは対称状態にはならないのであろうか。この問題の答えは対称操作オペレータの変換時の位相項にありそうである。そこで、複素数 $\exp(i\alpha)$ を導入し、以下のようにしてみよう。

$\begin{displaymath} T: \left(\matrix{0 & \exp(i\alpha) \cr \exp(-i\alpha) & 0}\right) \end{displaymath}$

(7.9)

左下の項は、の関係と、 $(固有値) =\pm1$ の関係から決定されている。固有状態は次のようになる。

$\begin{displaymath} 固有値1: \frac1{\sqrt2}\left(\matrix{1 \cr \exp(-i\alpha)}\... ...�-1: \frac1{\sqrt2}\left(\matrix{1 \cr -\exp(-i\alpha)}\right) \end{displaymath}$

(7.10)

ここで $\alpha=-\pi/2$ とすると、偶パリティの固有状態は $\left\vert+y\right\rangle$ 、奇パリティの固有値状態は $\left\vert-y\right\rangle$ となる。つまり、対称操作オペレータの選び方によって、どの状態が対称になるのかが変わってしまうことに注意して欲しい。さらに、 $\alpha=\pi$ とすると、偶パリティの状態が $\left\vert-x\right\rangle$ 、奇パリティの状態が $\left\vert+x\right\rangle$ と、先程と逆の結果となってしまう。このように、対称操作オペレータを決めるときには位相の変化に注意する必要がある。

システムをある軸を中心に $120^\circ$ 回すような操作 $\widehat{T}$ を考えよう。このような対称操作は三回繰り返すと何もしないことと同じになる。

$\begin{displaymath} \widehat{T}^3=\widehat{I} \end{displaymath}$

(7.11)

このような対称操作オペレータでは、が成立する。つまり、固有値は1、 $\exp(i2\pi/3)$ 、または $\exp(-i2\pi/3)$ のいずれかになる。同様に、回繰り返すと元になる対称操作の場合、そのオペレータの固有値乗は 1 になる。つまり固有値はを任意の整数として、 $\exp(i2\pi I/n)$ となる。また、状態そのものが回対称であるとは、その状態が、適切な $\widehat{T}$ の固有状態になることを意味する。

問題7..3 回対称操作 $\widehat{T}$ の固有値問題を $\widehat{T} \left\vert t\right\rangle =t\left\vert t\right\rangle$ と書くことにして、であることを示せ。

答え $\widehat{T}^n=\widehat{I}$ の右から $\left\vert t\right\rangle$ を掛けた式に対し、順番に固有値化していくと、 $t^n\left\vert t\right\rangle =\left\vert t\right\rangle$ が得られる。これから。

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Yoichi OKABE 平成19年6月30日