回転対称性と角運動量

ある軸に対し、対象を回転するという対称操作に関連して、角運動量が 定義される。例えば、各角運動量の $z,x,y$ 成分は、それぞれ $z,x,y$ 各軸に対する回転対称操作から次のように定義される。

$$\widehat{R}_z(\Delta\phi)=\widehat{I}-\frac{\widehat{J}_z}{... ...t{I}-\frac{\widehat{J}_x}{i\hbar} \Delta\phi+O^2(\Delta\phi)$$ (8.1)

したがって、これら操作に対する対称性が成立する物理系では、対応する 角運動量は保存される。例えば $z$ 軸を中心とする円筒対称なポテンシャル 中の粒子運動については $z$ 軸周りの回転対称性があるから、$\widehat{J}_z$ は保存量となる。また、原点を中心とする球対称な物理系では、上記のどの軸に 関しても回転対称性があるので、いずれの角運動量も保存される。

しかし、並進操作とは異なり、$\widehat{R}_x$、$\widehat{R}_y$、$\widehat{R}_z$ は 互いに交換しない。例えば、図8.1に示すように、 $\widehat{R}_x(90^ \circ)\widehat{R}_y(90^\circ)$ と $\widehat{R}_y(90^\circ)\widehat{R}_x(90^\circ)$ は明らかに異なる結果を与える。このことから、微小回転から定義される 角運動量 $\widehat{J}_x$ と $\widehat{J}_y$ も、互いに交換しなくなる。

図 8.1: 空間回転の非対称性

例えば、 $\widehat{R}_x(\theta)$ によって空間上の任意の点 $(x,y,z)$ は 次のように位置を移動する。

$$\widehat{R}_x(\theta): (x,y,z)\rightarrow(x,y\cos\theta+z\sin\theta,z \cos\theta-y\sin\theta)$$

続けて、 $\widehat{R}_y(\phi)$ によって回転を与えると、最終的な位置は 次のようになる。

$$\begin{eqnarray*} && \widehat{R}_y(\phi)\widehat{R}_x(\theta): (x,y,z)\rightarr... ...z\sin\theta,z\cos\theta\cos\phi-y\sin \theta\cos\phi+x\sin\phi) \end{eqnarray*}$$

一方、逆の順で回転操作を与えると、まず次のように変換される。

$$\widehat{R}_y(\phi): (x,y,z)\rightarrow(x\cos\phi-z\sin\phi,y,z\cos \phi+x\sin\phi)$$

続けて、次のように変換される。

$$\begin{eqnarray*} && \widehat{R}_x(\theta)\widehat{R}_y(\phi): (x,y,z)\rightarr... ...sin\theta,z\cos\phi\cos\theta+x\sin\phi \cos\theta-y\sin\theta) \end{eqnarray*}$$

したがって、この二つの操作の差の結果は、$\theta$、$\phi$ が 十分小さいとき、次式のようになる。

$$\begin{eqnarray*} && \widehat{R}_x(\theta)\widehat{R}_y(\phi)-\widehat{R}_y(\ph... ...eta)-y\sin\theta(1-\cos \phi))=(-y\theta\phi,x\theta\phi,0)+O^3 \end{eqnarray*}$$

たったこれだけのこと、つまり軸の異なる二つの回転オペレータには交換が 成立しないという事実だけから、じつに驚く程多くの運動量に関する法則が 誘導さるのである。

回転オペレータに対し、次のような微小操作のオペレータを考えてみよう。

$$\begin{eqnarray*} && \widehat{I}-\widehat{R}_z(\theta\phi): (x,y,z)\rightarrow ... ...\theta\phi-x\sin\theta\phi,z)=(-y\theta\phi,x\theta\phi, 0)+O^3 \end{eqnarray*}$$

これらのことから、空間回転については、次式が成立することがわかる。

$$[\widehat{R}_x(\theta),\widehat{R}_y(\phi)]=\widehat{I}-\widehat{R}_z(\theta\phi)+O^3$$ (8.2)

さて、回転操作を角運動量に変換しよう。上式は以下のようになる。

$$[\widehat{I}-\widehat{J}_x\theta/i\hbar+O^2,\widehat{I}-\widehat{J}_y\phi/i\hbar+O^2] =\widehat{J}_z\theta\phi/i\hbar+O^3$$

角度の二次の項までを比較すると、$\widehat{J}_x$ と $\widehat{J}_y$ の 交換関係を得ることができる。まったく同様にして、次の三式が得られる。

$$\left. \begin{array}{c} [\widehat{J}_x,\widehat{J}_y]=i\h... ...,\widehat{J}_x]=i\hbar \widehat{J}_y \end{array} \ \right\}$$ (8.3)

これらの交換関係は、導出の仕方からも明らかなように、対象とする物理系が 空間の任意の軸に対する回転対称性を有する限り必ず成立する。別に物理系が 細長かろうと変形したものであろうと、空間に固定された特定の軸を持たない 限り、恒に成立する関係である。これらの交換関係を認めると、以下のように 驚くべき結論がいくつか導かれる。その導出法はかなり技巧的であるが、今後、 あちこちで利用される手法であるので、少しずつ慣れて欲しい。まず、 $\widehat{J}_x$、$\widehat{J}_y$ の代わりに、次のような新しいオペレータを 導入する。

$$\widehat{J}_+=\widehat{J}_x+i\widehat{J}_y$$ (8.4)

$$\widehat{J}_-=\widehat{J}_x-i\widehat{J}_y$$ (8.5)

さて、次の関係が成立する。

$$\widehat{J}_+^\dagger=\widehat{J}_-,\qquad \widehat{J}_-^\dagger=\widehat{J}_+$$ (8.6)

これらを用いて $\widehat{J}_x$、$\widehat{J}_y$ を書き換えると、以下の式が、 得られる。

$$[\widehat{J}_+,\widehat{J}_-]=-2\hbar \widehat{J}_z$$ (8.7)

$$[\widehat{J}_+,\widehat{J}_z]=-\hbar \widehat{J}_+$$ (8.8)

$$[\widehat{J}_-,\widehat{J}_z]=\hbar \widehat{J}_-$$ (8.9)

問題8..1 上記式8.7〜式8.9を導出せよ。

ヒント 第二式と第三式は、上の第二式と第三式を複素数的に 組み合わせたものから誘導する。

ここで、$\widehat{J}^2$ を次のように定義しよう。

$$\widehat{J}^2=\widehat{J}_x^2+\widehat{J}_y^2+\widehat{J}_z^2$$ (8.10)

この $\widehat{J}^2$ も、$\widehat{J}_+$、$\widehat{J}_-$ を用いて、 書き換えることができる。

$$\widehat{J}^2=\widehat{J}_+\widehat{J}_--\hbar\widehat{J}_z... ...idehat{J}_-\widehat{J}_+ +\hbar\widehat{J}_z+\widehat{J}_z^2$$ (8.11)

これらの式から、$\widehat{J}^2$ は $\widehat{J}_z$ と交換することが示される。

$$[\widehat{J}^2,\widehat{J}_z]=0$$ (8.12)

問題8..2 式8.11 を示せ。

答え

$$\widehat{J}^2=\widehat{J}_x^2+\widehat{J}_y^2+\widehat{J}_z... ...=\widehat{J}_+\widehat{J}_--\hbar\widehat{J}_z+\widehat{J}_z^2$$

他も同様。

問題8..3 式8.12 を示せ。

答え

$$\widehat{J}_+\widehat{J}_-\widehat{J}_z=\widehat{J}_+(\wide... ...ehat{J}_+\widehat{J}_-=\widehat{J}_z\widehat{J}_+\widehat{J}_-$$

他の項は $\widehat{J}_z$ と明らかに交換する。

交換するということは、二つのオペレータ $\widehat{J}^2$、$\widehat{J}_z$ が 共通の固有状態を持つことを意味する。その固有値をそれぞれ $\lambda \hbar^2$、$m\hbar$ としよう。また、共通の固有状態を $\left\vert\lambda,m\right\rangle$ と書いておこう。もし、この固有状態がいずれの オペレータに対しても縮退していなければ、$\lambda$ と $m$ にはある 関係が成立し、片方だけで表現してもよいはずである。もし、$m$ だけが 縮退していれば、同じ $\lambda$ に対し、いくつかの異なる $m$ が 対応する(実際はこうなっている)。定義から明らかなように、次式が成立する。

$$\widehat{J}^2\left\vert\lambda,m\right\rangle =\lambda\hbar^2\left\vert\lambda,m\right\rangle$$ (8.13)

$$\widehat{J}_z\left\vert\lambda,m\right\rangle =m\hbar\left\vert\lambda,m\right\rangle$$ (8.14)

まず、式8.8の両辺右から $\left\vert\lambda,m\right\rangle$ を掛けてみよう。

$$\widehat{J}_+\widehat{J}_z\left\vert\lambda,m\right\rangle ... ...rangle =-\hbar\widehat{J}_+\left\vert\lambda,m\right\rangle$$

これから、式8.14を利用すると、次式が、導かれる。

$$\widehat{J}_z(\widehat{J}_+\left\vert\lambda,m\right\rangle )=(m+1)\hbar(\widehat{J}_ +\left\vert\lambda,m\right\rangle )$$

この式をじっと見てみると、$\widehat{J}_z$ の固有値問題の形になっている。 固有値はもちろん $(m+1)\hbar$ であるし、固有状態は $\widehat{J}_+\left\vert\lambda,m\right\rangle$ である。$(m+1)\hbar$ を固有値に持つ状態は $\left\vert\lambda,m\right\rangle$ と書けるはずである。したがって、$\alpha_m$ を適切な 定数として、以下のように書けるはずである。

$$\widehat{J}_+\left\vert\lambda,m\right\rangle =\alpha_m\hbar\left\vert\lambda,m+1\right\rangle$$ (8.15)

このように $\widehat{J}_+$ は、 $\left\vert\lambda,m\right\rangle$ から $m$ の一つ 増えた別の固有状態を作り出すオペレータになっていることがわかる。この 意味で $\widehat{J}_+$ は、昇階演算子(ascending operator)と呼ばれる。まったく 同様にして、$\widehat{J}_-$ は $\left\vert\lambda,m\right\rangle$ から、$m$ の一つ 減った状態を作り出し、降階演算子(descending operator)と呼ばれる。

$$\widehat{J}_-\left\vert\lambda,m\right\rangle =\beta_m\hbar\left\vert\lambda,m-1\right\rangle$$ (8.16)

式8.6から分かるように、昇階演算子と降階演算子の間には深い 関係がある。式8.15の共役をとってみよう。

$$\left\langle\lambda,m\right\vert\widehat{J}_+^\dagger=\alpha_m^*\hbar\left\langle\lambda, m+1\right\vert$$

これに右から $\left\vert\lambda,m+1\right\rangle$ を掛け、式8.6の関係を 利用する。

$$\left\langle\lambda,m\right\vert\widehat{J}_-\left\vert\lam... ...ft\langle\left.\lambda,m+1\right\vert\lambda,m+1\right\rangle$$

これに、さらに式8.16を代入する。

$$\beta_{m+1}=\alpha_m^*$$

ただし、 $\left\vert\lambda,m\right\rangle$ などは正規化されているとした。すると、 式8.16の代わりに、次式が得られる。

$$\widehat{J}_-\left\vert\lambda,m\right\rangle =\alpha_{m-1}^*\hbar\left\vert\lambda,m-1\right\rangle$$ (8.17)

次に、 $\widehat{J}^2\left\vert\lambda,m\right\rangle$ を計算してみよう。式8.11の 後半の式の右から $\left\vert\lambda,m\right\rangle$ を掛ける。

$$\widehat{J}^2\left\vert\lambda,m\right\rangle =(\widehat{J}... ...widehat{J}_z+\widehat{J}_z^2)\left\vert\lambda,m\right\rangle$$

$\widehat{J}^2\left\vert\lambda,m\right\rangle =\lambda\hbar^2\left\vert\lambda,m\right\rangle$、 $\widehat{J}_-\widehat{J}+\left\vert\lambda,m\right\rangle =\alpha_m\hbar\wideha... ...a,m+1\right\rangle = \vert\alpha_m\hbar\vert^2\left\vert\lambda,m\right\rangle$、 $\widehat{J}_z\left\vert\lambda,m\right\rangle =m \hbar\left\vert\lambda,m\right\rangle$ などを利用すると、次の関係が得られる。

$$\lambda=\alpha_m^2+m+m^2$$

$\alpha_m$ は実数と考えても、以下の議論には支障がないので、次式が得ら れる。

$$\alpha_m=\sqrt{\lambda-m(m+1)}$$ (8.18)

$\widehat{J}_+$ は次から次へと $m$ の大きな状態を作ってくれるが、あまり 大きな $m$ になると、式8.18の平方根の中身が 負になってしまい、矛盾を起こしてしまう。この矛盾を回避するには、ある $m$ で 式8.18の右辺が $0$ になればよい。その $m$ の値を $j$ としておこう。すると、式8.15によって、次から次に $m$ の大きな状態が生成されるが、$m=j$ になったところで、$\widehat{J}_+$ の 右辺が $0$ になるため、そこから上の状態は生成されなくなる。 したがって、次のように表すことができる。

$$\lambda=j(j+1)$$ (8.19)

逆に、$\widehat{J}_-$ は次から次へと $m$ の小さな状態を作ってくれるが、 あまり小さな $m$ になると、式8.18の平方根の中身が 負になってしまい、矛盾を起こしてしまう。$m$ の最小値を $-j'$ とすると、次の条件が成立するときに、そこで式8.16の右辺が $0$ となり、それ以下の $m$ の状態の生成は停止し、矛盾は回避される。

$$\lambda=j'(j'-1)$$

これらの式を比較すると、当然、$j'=j+1$ でなければならない。$m$ は $1$ ずつしか変化しないから、$j-(-j')$ は整数でなければならない。 つまり、$m$ の取り得る数の範囲 $2j+1$ は、整数となる。これから、 $j$ は整数あるいは半整数であることが導かれる。

$\left\vert\lambda,m\right\rangle$ の代わりに $\left\vert j,m\right\rangle$ と書いて、 以上をまとめておこう。$j\hbar$ は全角運動量と呼ばれる。また、 $m\hbar$ は $z$ 軸の周りの角運動量と呼ばれる。

$$\widehat{J}^2\left\vert j,m\right\rangle =j(j+1)\hbar^2\left\vert j,m\right\rangle \qquad \qquad\left(\mbox{$j=$\ は整数、半整数}\right)$$ (8.20)

$$\widehat{J}_z\left\vert j,m\right\rangle =m\hbar\left\vert j,m\right\rangle \qquad\left(\mbox{$m=-j,\dots,j$}\right)$$ (8.21)

$$\widehat{J}_+\left\vert j,m\right\rangle =\sqrt{j(j+1)-m(m+1)}\hbar\left\vert j,m+1\right\rangle$$ (8.22)

$$\widehat{J}_-\left\vert j,m\right\rangle =\sqrt{j(j+1)-m(m-1)}\hbar\left\vert j,m-1\right\rangle$$ (8.23)

また、この最後の二式より、$\widehat{J}_x$、$\widehat{J}_y$ も計算できる。

$$\widehat{J}_x\left\vert j,m\right\rangle = \frac1 2\left[\sqrt{j(j+1)-m(m+1)}\hbar\left\vert j,m+1\right\rangle \right.$$

$$\left.+\sqrt{j(j+1)-m(m-1)}\hbar\left\vert j,m-1\right\rangle \right]$$ (8.24)

$$\widehat{J}_x\left\vert j,m\right\rangle = -\frac i 2\left[\sqrt{j(j+1)-m(m+1)}\hbar\left\vert j,m+1\right\rangle \right.$$

$$\left.-\sqrt{j(j+1)-m(m-1)}\hbar\left\vert j,m-1\right\rangle \right]$$ (8.25)

ここで思い出して欲しいのは、上記の性質がすべて、回転対称操作の持つ 空間的性質から導かれたものであるということである。したがって、対象とする 物理システムによらず、その全角運動量の二乗は $j$ を整数か半整数として $j(j+1)\hbar^2$ の値をとる。また、全角運動量 $j\hbar$ 状態の、ある 特定の軸の周りの角運動量を測定すると、必ず、最小値 $-j\hbar$ から 最大値 $j\hbar$ の $\hbar$ ごとの飛び飛びの値のいずれかが 観測されることを示している。$j$ としてどんな値を取るかは、対象とする 物理系によって決まる。例えば、電子の自転運動に起因する角運動量では、 $j=\hbar/2$ となるが、その理由はまだ判然とはしていない。また、 原子核の周りをまわる電子の公転運動に起因する角運動量では、$j$ は 整数となる。