ボーズ粒子系のハミルトニアン

次に、同一のボーズ粒子系のハミルトニアンを求めてみよう。ここでも、前節と同様に二つのボーズ粒子が二格子上にある場合を考えよう。その他の条件は前節とまったく同じであるとしよう。この場合、基底状態としては各格子点にいくつの粒子が入っているかを記述した数表現で与えられ、

$\displaystyle \left\vert 2,0\right\rangle =\left\vert S_1,S_1\right\rangle \cr$

(9.34)

と、それぞれ、二つの粒子とも左端の格子に存在する状態、左端と右端に一つずつ入っている状態、右端の格子に二つともいる状態になる。

まず、これらの ket 状態に $\widehat{H}$ を掛けたものを求めよう。

$\displaystyle \widehat{H}\left\vert 2,0\right\rangle =(\widehat{H}_X+\widehat{H}_Y+\widehat{V}_{XY})\left\vert S_1,S_1\right\rangle \cr$

(9.35)

$\displaystyle \widehat{H}\left\vert 1,1\right\rangle =(\widehat{H}_X+\widehat{H... ...rt2}(\,\left\vert S_1,S_2\right\rangle +\left\vert S_2,S_1\right\rangle \,) \cr$

(9.36)

$\displaystyle \widehat{H}\left\vert 2,0\right\rangle =(\widehat{H}_X+\widehat{H}_Y+\widehat{V}_{XY})\left\vert S_1,S_1\right\rangle \cr$

(9.37)

$\begin{displaymath} \left(\matrix{ 2E_0 & -\sqrt2A & 0 \cr -\sqrt2A & 2E_0-B & -\sqrt2A \cr 0 & -\sqrt2A & 2E_0 }\right) \end{displaymath}$

(9.38)

のようになる。この結果は先に求めた同一でない二粒子のハミルトニアンの第1、 4行はそのままにして第2、3行を $1/\sqrt2$ 倍ずつして加え合わせ、さらに第1、4列をそのままにして第2、3列をやはり $1/\sqrt2$ 倍ずつして加え合わせた結果になっている。この場合も、Aは一粒子だけが移動する遷移項にだけ現れている。

		$\displaystyle E=2E_0: \qquad \frac1{\sqrt2}\left(\matrix{1 \cr 0 \cr -1}\right),$
		$\displaystyle E=2E_0-2A(b\pm\sqrt{1+b^2}): \qquad \alpha\left(\matrix{1 \cr \sqrt2(b\pm\sqrt{1+b^2}) \cr 1}\right)$
		$\displaystyle \qquad \mbox{ただし} b=B/4A,\quad \alpha=2\sqrt{1+b^2\pm b\sqrt{1+b^2}}$	(9.39)

となっており、同一でない二粒子のハミルトニアンの固有値問題と深い繋がりを感じさせる。